VILJEM RUAN HAMILTON

                                                        

                                                        

                                                         "Stvari matematike ne predstavljaju ni 'šta' ni

                                                                            'kako', nego su to samo oznake, koje je za sebe

                                                                            sačinio naš razum, a bez kojih on ne bi mogao  obavljati svoj posao..."

                                                                                 

                                                        

                                                                                     Nikola Kuzanski

                                                        

Henri VIII proglasio se kraljem Irske 1542. godine, pa je tako bilo legalizovano ekonomsko i političko porobljavanje Iraca od strane Engleza. Ta je eksploatacija svoj vrhunac dostigla kada je Kromvel 1649. godine beskompromisno ugušio veliku irsku pobunu. Oduzeta im je skoro sva zemlja i predata na korišćenje engleskim lordovima i trgovcima. Počeo je jedan nesvakidašnji proces: Englezi su se sve više naseljavali u Irskoj, a Irci su se iseljavali u Englesku, Ameriku, kasnije i Australiju.

Neposredno, pak, pre Hamiltonova rodjenja, zbila su se za Irsku tog vremena dva važna politička dogadjaja: 1801. godine Irci su morali ući u uniju sa Britanijom, a 1802. raspušten je irski parlament. Kako u detinjstvu, tako će i kroz ceo život Hamiltona  pratiti nacionalistička previranja u irskoj politici. Rodio se 1805. godine u Bla Klieu, tj. Dablinu (engleski naziv irskog glavnog grada), centru mnogobrojnih irskih pobuna; ili, radi bolje istorijske koordinacije, - rodio se godinu dana posle Bendžamina Dizraelija, a godinu dana pre Džona Stjuarta Mila. Bilo je to vreme žigosano Napoleonovim pohodima i velikim  preokretima. Svima je postalo jasno da su optimističke nade o ljudskim pravima, koje su gajene u XVIII veku, bile nedostižne. Pesimizam se počeo širiti Evropom, a naročito su ga širili Bajron i Šopenhauer; kontra-struja je, pak, svoj optimizam hranila moćnim savezom koji je prećutno bio sklopljen izmedju nauke i tehnike. Parne mašine su izašle iz tkačkih fabrika i ušle i u brodove i lokomotive. Evropa se uveliko modernizovala. Industrijska revolucija, čija je kolevka bila Engleska, najviše je doprinela da se stvori slika o jedinstvu prirode. U književnosti suvereno je vladao Gete, u muzici Betoven, a u matematici Gaus. Rastući uz oca advokata, Hamilton se rano upoznao sa složenim motivima i ponašanjima ljudi u javnom životu, te je stekao živo osećanje za iskustvenu realnost; ta će ga realnost kasnije neprestano vraćati fizičkom svetu. Uz to, Hamilton je rastao u živoj tradiciji

 irske mitologije i folklora, zatim uz Sviftova menipejska "Guliverova putovanja", Homerove, Miltonove, Vordsvortove stihove...

Kao i u Njutnovom slučaju, i ovde je jedan ujak bitno uticao na životni put jednog sestrića. Ujak - sveštenik - Džems, talentovani poliglota, smatrao se obaveznim da svoje znanje prenese na mladog sestrića. Već u trećoj godini Viljem je tečno govorio i čitao engleski i pokazivao izrazit talenat za aritmetiku; u četvrtoj je čitao hebrejske tekstove, a u petoj latinske i grčke; zatim je svake godine ovladavao još sa po nekoliko novih jezika: francuskim, italijanskim, nemačkim... Kada je 1815. napunio deset godina, ujak piše kako je njegova "žedj za orijentalnim jezicima neutaživa. On je za sada savladao većinu /jezika/, zapravo sve, osim manjih i razmerno provincijalnih. Hebrejski, persijski i arapski još će učvrstiti bolje i pobliže poznavanje sanskrita, za koji je on već stručnjak. Haldejskom i starosirijskom već se uči, takodje hindustanskom, malajskom, mahratskom, bengalskom i drugim. Upravo namerava početi kineski, no veoma veliku teškoću predstavlja nabavljanje knjiga. Njegove nabavke iz Londona staju me velike svote novca, no nadam se da je taj novac pametno utrošen". Pišući o Hamiltonu, američki istoričar matematike Bel smatra da je taj novac ipak bio loše utrošen i zato slavi dan kada je on prestao sa "besmislenim učenjem beskorisnih jezika" (na prelasku iz četrnaeste u petnaestu godinu). Takva špekulativna teza teško da se može braniti danas kada znamo da je u principu nemoguća racionalna rekonstrukcija stvaranja jedne ideje. Čisto logički, analitički opis nije u stanju da nam da šemu radjanja jedne ideje; klasična epistemologija bez odredjenih ontoloških pretpostavki jeste jedna mrtva stvar. Ontogeneza znanja genetičkih epistemologa daje nam slobodu da donesemo sasvim suprotan zaključak od Belovog. Hamilton je, po svoj prilici, zamenio lingvistički broj (singular, dual, plural) aritmetičkim prirodnim brojem (1, 2,...). Izgleda da su ti "beskorisni", "besmisleni" jezici trajno obogatili njegovu intuiciju. Matematička intuicija mu je omogućila formalizaciju algebre, koordinaciju mnogobrojnih kanonskih transformacija, a to ga je sve vodilo izgradnji jednog matematičkog formalizma koji je Njutnovu mehaniku uzdigao do njenog najoperativnijeg - najmoćnijeg - oblika.

Bilo kako mu drago, tek izrastao je Hamilton u mladića retke kulture i žive inteligencije. Taj vrsni sudija u stvarima misli i ukusa želeo je neodoljivo da piše pesme - i pisao ih je! Ko zna, možda se potajno nadao da će postati irski Šekspir? Ali, izgleda da su i ovoga puta erudicija i pamet radile protiv nadahnuća i duše. Skeptik kakav je bio, Hamilton je to odmah zapazio. Osetio se nesposobnim da, kao Vordsvort, bude "srce koje misli", a znao je i da ne može udovoljiti Kolridžovom kredu, po kome pesnik treba snagom svoje imaginacije "ne da opisuje, već da ponovo stvara prirodu". Raskinuo je svoj pesnički savez sa Kaliopom, Polihimnijom i Eratom i bez rezerve se predao novom, koji je sklopio sa Uranijom. Ovoga puta, zacrtao je sebi(!): nema povlačenja. Počeo je samostalno proučavati klasike: Njutna, Lagranža, Laplasa... S primetnom lakoćom sticao je nova znanja. Njegovom temeljitom znanju u dablinskom Triniti-koledžu bila su otvorena sva vrata. Doktor Brinlej (po svoj prilici po uzoru na Baroua koji je svoju katedru prepustio Njutnu) predaje svoju katedru dvadesetdvogodišnjem Hamiltonu, a sam se povlači u manastir. Kada je sledeće godine Hamilton objavio prvi deo svoje znamenite knjige, "Teorije o sistemu svetlosnih zraka", niko više nije sumnjao u to da je Irska dobila svog Njutna.

Hamiltonovi će savremenici njegovu "Teoriju o sistemu svetlosnih zraka" smatrati u istoj meri klasičnom, kao što je to za njih bila i Njutnova knjiga "Matematički principi prirodne filozofije". Teorijsko predskazanje prelamanja (refrakcije) snopa svetlosnih zraka koje je Hamilton tu dao, a koje se kasnije eksperimentalno potvrdilo, podsetilo ih je na Njutnova verifikovana teorijska predvidjanja; u to vreme, 1845. godine, bila je potvrdjena perturbacija planete Urana. Tako je on sa samo dvadeset sedam godina postao živa legenda ne samo u Britaniji, već i u kontinentalnoj Evropi i Americi. Ali, evo šta o svom predskazanju prelamanja snopa svetlosnih zraka kaže sam Hamilton:

"Izlazi da je zakon o refrakciji svetlosti s običnih ogledala bio poznat Euklidu; zakon o običnoj refrakciji na površini vode, stakla, ili drugih nekristalizovanih materija, otkrio je mnogo kasnije Snelijus; Hajgens je otkrio, a Malus dokazao zakon o izuzetnoj refrakciji koja nastaje kod jednoaksijalnih kristala, kao što su islandski listići; i najzad, zakon o izuzetnoj dvostrukoj refrakciji na površinama biaksijalnih kristala, kao što su topaz i aragonit, otkrio je u naše vreme Frenel. No i u ovim slučajevima izuzetne ili kristalne refrakcije, nikad nije opaženo više od dva refraktirana zraka, niti se uopšte pretpostavljalo da oni postoje, ako izuzmemo Košijevu teoriju da bi možda mogao postojati treći zrak, premda verovatno nevidljiv za naša čula. Ja sam, medjutim, ispitujući pomoću svoje opšte metode posledice Frenelovog zakona, došao do zaključka da u nekim slučajevima, koje je on naveo, moraju postojati ne samo dva, već beskonačni broj ili snop reflektovanih zraka unutar biaksijalnog kristala, koji odgovara i nastaje iz jednog jedinog upadnog zraka; te da će u nekim drugim slučajevima jedan jedini zrak unutar tog kristala izazvati beskonačan broj izlaznih zraka, složenih u neki drugi snop. Dakle, bio sam doveden dotle da prema teoriji predvidim dva nova zakona o svetlosti, kojima sam dao imena unutrašnja i spoljašnja refrakcija snopa svetlosnih zraka."

Istaknimo još i to da je Hamilton tada uočio kako se "zamenom broja funkcijama, a dijagrama formulama", tj. "primenom algebre na optiku", može uspešno izgraditi jedna nova teorija svetlosnih zraka. Bilo je to još uvek vreme intenzivnog analiziranja Lagranževih i Laplasovih radova, pre svega. Baveći se problemom orbitalne stabilnosti, tj. jednačinama poremećenog kretanja, on uočava nedoslednosti u Laplasovoj "Nebeskoj mehanici". Prepoznao je odmah da je Laplasova slika sveta pretrpela razorni udarac još 1811. godine - one godine u kojoj je jedan baron, prefekt Izera, Furije, za svoju studiju o širenju toplote u krutim telima dobio nagradu Pariske akademije. Furije je u svom radu zaključio da je toplota "koja se širi izmedju dva tela srazmerna gradijentu temperature izmedju njih". Ta se teorija nikako nije dala svesti na mehaničku definiciju stanja sistema. Hamilton je vrlo rano zaključio da razne teorije prirode čuvaju svoju kauzalnost u odnosu na svoju definiciju stanja sistema, koja, naravno, ne mora da se poklapa sa mehaničkom (Laplasovom) definicijom.  Većina njegovih savremenika, ali, nažalost, i naših, to nikako nije razumevala.

U XIX veku još je gajena bolesna ideja o apsolutnom znanju. Kod fizičara, vera u razum bližila se svom vrhuncu. Predvidjanje tokova u prirodi i dalje se izvodilo iz hipoteze po kojoj je budućnost sadržana u sadašnjosti. Taj je vek uglavnom nastavio da razvija staro "racionalističko" učenje, po kome je posmatranje podredjeno mišljenju. I dalje se radilo na projektu svodjenja celokupne prirode na matematičke entitete. Lajbnicovi i Boškovićevi sledbenici i dalje su forsirali primenu zakona neprekidnosti. Ako su sve promene u prirodi vezane za zakon neprekidnosti, onda se problem spoznaje, mislili su oni, svodi na problem integrabilnosti posmatranog sistema.

Pokušavajući da se bavi problemima integracije diferencijalnih jednačina posmatranih sistema, Hamilton se zainteresovao najpre za problem prvih integrala kretanja. Naime, pri kretanju mehaničkog sistema sa  stepeni slobode kretanja menja se, u toku vremena,  veličina    i    (=1,..., ) (  predstavljaju generalisane koordinate, a    generalisane brzine), a koje veličine odredjuju stanje sistema. Medjutim, postoje takve funkcije ovih veličina, koje pri kretanju sistema očuvavaju svoje vrednosti i koje zavise samo od početnih uslova; njih obično nazivamo integralima kretanja. Ako eliminišemo parametar vreme  (t)  iz ovih   funkcija

ostaje    funkcija, koje povezuju konstante  sa promenljivim    i   , a koje nazivamo nezavisnim integralima kretanja. Nekoliko integrala kretanja ima izuzetno važnu ulogu u mehanici, jer se njihovo poreklo danas vezuje za homogenost i izotropnost vremena i prostora. Zakon održanja energije vezuje se za homogenost vremena. Ta homogenost čini da lagranžijan za zatvoreni sistem ne zavisi eksplicitno od vremena, a to dalje vodi jednom skalarnom zakonu održanja energije. Zakon održanja količine kretanja vezuje se za homogenost prostora, a održavanje momenta količine kretanja za izotropnost prostora. Ova dva zakona održanja su vektorska. Baveći se problemom tri i   tela, Hamilton se sretao sa magičnim brojem od 7 prvih integrala koji se mogu postaviti u posmatranim problemima, ali je aktuelno pitanje bilo kako pronaći preostale prve integrale.

Hamilton je potovao i celog života pomno proučavao Lagranževe radove, pravu riznicu novih ideja, kao što su: teorija algebarski nepromenljivih veličina (na čemu su kasnije najviše radili Keli i Silvester), teorija determinanti (sam naziv "determinanta" potiče od Košija, a za legitimnost teorije najviše je učinio Jakobi), zatim ideje da tri prostorne dimenzije i vreme čine skup od četiri dimenzije, da vreme nije ništa drugo do geometrijski parametar koji je moguće meriti (tu ideju o mnogostrukosti vremena kasnije su preuzeli Poenkare i Ajnštajn), zatim teorija grupa (taj "ključ" savremene algebre i geometrije, čiju je kompletnu teoriju izumeo Galoa, a koja je shvaćena i prihvaćena tek na kraju XIX veka u radovima Žordana, Klajna i Lija)...; i sami osnovi kanonskog formalizma mogu se naći već u Lagranževoj "Analitičkoj mehanici". Dalje, preuzimajući definiciju impulsa iz Poasonovog "Traktata iz mehanike" iz 1811. godine, po kojoj je   Hamilton uvodi funkciju koordinata i impulsa:  . Ta - kako je mi danas, iz pijeteta prema njenom tvorcu, nazivamo - Hamiltonova funkcija, jeste osnovna veličina nove formalizovane mehanike i iz nje se može dedukovati deskripcija sistema kao i njegova evolucija. Za razliku od Lagranževog formalizma, gde se količina kretanja izračunava preko generalisane brzine, generalisani se impuls kod Hamiltona više ne izračunava direktno; to je omogućilo da se pri integraciji novonastalog sistema od    diferencijalnih jednačina, sli sada prvog reda, u takozvanom "kanonskom" obliku:

                 

generalisane koordinate i impulsi smatraju medjusobno nezavisnim parametrima sistema. Glavna karakteristika ovih jednačina jesu odredjene osobine invarijantnosti prilikom transformacija koordinata. I još, pošto su svi kanonski sistemi medjusobno ravnopravni, tj. govore iste stvari, u krajnjoj instanci, o posmatranom sistemu, onda pri rešavanju nekog konkretnog problema biramo one promenljive    i   koje nas preko odgovarajućeg hamiltonijana vode najjednostavnijoj integraciji diferencijalnih jednačina kretanja.

U želji da iz jednog varijacionog principa izvede kako poznate zakone klasične mehanike - tako i poznate zakone geometrijske optike, Hamilton dolazi u situaciju da transformiše Lagranžev princip najmanjeg dejstva. On pod integral uvodi lagranžijan u vidu razlike kinetičke i potencijalne energije    tako da varijacioni princip najmanjeg dejstva sada dobija formu:

gde ukupna energija više ne mora, kao kod Lagranža, biti konstantna.

Jakobi je u svojim "Predavanjima iz dinamike" posebno mesto dao Hamiltonovom formalizmu kojim se rešavanje bilo kog mehaničkog problema svodi na nalaženje potpunoig integrala jedne parcijalno-diferencijalne jednačine. Tu jednačinu obično nazivamo Hamilton-Jakobijevom:

U njoj su nezavisno-promenljive generalisane koordinate  i vreme  .  Ključ za rešavanje te jednačine sadržan je u takozvanoj "karakterističnoj"  ili  "glavnoj"   funkciji  .

Dok je Hamilton svoj formalizam iz klasične mehanike protegao samo još na optiku, krajem XIX veka - i u XX naročito - taj je formalizam bio osnovna gradja i za sisteme sa velikim brojem čestica - u statističkoj fizici (Gibs-Ajnštajnova teorija ansambla), mehanici atoma i molekula, kao i kvantnoj mehanici - a o tome svedoče izjave samih tvoraca tih teorija, pre svih Hajzenberga i Diraka, na primer.

Svoju konceptualističku metafiziku Kant započinje "kopernikanskim obrtom", tj. idejom da se naše saznanje ne treba upravljati prema predmetima, već da se oni (predmeti) imaju upravljati prema našem saznanju. Smatra da se samo sa tom idejom nauka o prirodi može smatrati naučnom. Pokušavajući da dokaže postojanje apriornih sintetičkih istina, Kant sklapa čvrst savez sa matematikom i fizikom, te tako uspeva da svojoj filozofiji obezbedi za metafizičke sisteme neuobičajenu ubedljivost. Čak se i Hamilton dao uhvatiti u mrežu Kantove doktrine, po kojoj su zakoni euklidske geometrije i zakoni brojeva apriorni i sintetički i gde su prostor i vreme "samo čulni oblici intuicije". Za razliku od geometrije, koju je Hamilton pod uticajem Kanta smatrao naukom o prostoru, želi on da izgradi algebru kao nauku o vremenu (pogledati radove koje je on publikovao u "Transactions of Royal Irish Academy"  u periodu 1833--1835, a naročito obratiti pažnju na njegov rad pod naslovom "Theory of conjugate functions or Algebric Couples; with a preliminary and elementary essay on Algebra as the Science of pure time" ). Tako Hamilton ponavlja Kantovu grešku u uverenju da se naše znanje   (sintetičke apriorne istine) mora nužno podudarati  sa  stvarnošću. Sledeći Kantov putokaz, a i smatrajući sebe više fizičarem nego matematičarem, trudio se da nove tipove složenih brojeva (na primer kompleksne) demistifikuje tako što će ih interpretirati u realnom svetu. Hamilton je po prvi put uveo u matematiku operaciju uredjene dvojke, pomoću koje se, uopšte, strogo mogu definisati razni pojmovi, za koje inače nemamo definiciju, ali koji imaju odredjen broj svojih odrednica. Tako je kod njega kompleksni broj postao uredjena dvojka: . Za tako uvedene kompleksne brojeve definisao je operaciju sabiranja i pokazao da su oni u odnosu na operaciju sabiranja komutativni i asocijativni. Nadovezujući se na Vesel-Arganovu geometrijsku interpretaciju komplesnih brojeva, Hamilton za potrebe fizike uvodi pojam  "vektor"  (od latinskog vectus = nošen), kojim ostvaruje davnašnju želju da se algebarske metode iskoriste u geometriji.

Grčki pokušaj aritmetizovanja geometrije neslavno se završio Hipasovim brodolomom. Dekartov i Fermaov pokušaj završio se izgradnjom "koordinatne geometrije", u kojoj su geometrijski definisane krive bile pretvorene u algebarske jednačine; u krajnjoj instanci to je sve, ipak, vodilo algebarskoj apstrakciji. Činilo se da će ova "aritmetizovana geometrija" prevazići geometrijsku "geografsku" statičnost i uspeti nešto preciznije da progovori o promenama u prirodi. Formiranjem integro-diferencijalnog računa put matematičkoj analizi bio je dobro trasiran.

Ceo XVIII vek bio je obojen novim rezultatima u matematičkoj analizi; u to vreme u matematičku analizu ubrajana je i njena primena u prirodnim naukama, a pre svega u mehanici. Na početku XIX veka Poason je prvi ustao protiv analitičkih formula koje opisuju kretanje. Radeći na praktičnim problemima dinamike, on je došao do zaključka da se inženjer ne može osloniti samo na analitičke metode, jer one same po sebi ne doprinose "očiglednosti" procesa koji se proučava; u tom cilju tražio je ponovno uvodjenje geometrijskih metoda.  Tehničko crtanje i projektivna geometrija nisu mogle udovoljiti njegovim zahtevima i održati ravnotežu sa zahuktalom matematičkom analizom. I dalje se postavljalo pitanje kako izbeći svodjenje računa geometrijskih veličina na račun brojeva. Kako sprečiti gubljenje geometrijske očiglednosti? Hamilton, a nezavisno od njega godinu dana kasnije i Grasman, ponudili su rešenje za neposredno računanje geometrijskih veličina, ponudili su teoriju vektora. (Godine 1844. Grasman je u svojoj "Teoriji ekstenzije", praveći analogiju sa elementarnom algebrom, izgradio svoju linearnu algebru, koja je čak obuhvatala i elemente tenzorske algebre, koji su se mnogo kasnije pojavili u opštoj teoriji relativnsti.) Teorija vektora dozvoljavala je uvodjenje novih, složenijih objekata: dijada, afinora, tenzora...

I evo nas na raskrsnici gde jedna staza, tj. jedna metoda za rešavanje odredjenih problema u prirodnim naukama - vektorski račun - prilagodjen potrebama teorije polja, kreće od Hamiltona, a sa Gibsom i Hevisajdom postaje zasebna grana matematike. Ta je matematička novina omogućila Maksvelu da razvije svoju teoriju elektromagnetizma. Ta će se staza nastaviti i dostići svoj zenit u vidu totalne diferencijalne geometrije, tj. tenzorskog računa, koji su razvili Riči, Levi-Čivita i Minkovski. Ta će matematička mašinerija omogućiti Ajnštajnu da kreira svoju teoriju relativnosti u kojoj je pokušao da pomiri elektromagnetizam sa klasičnom racionalnom mehanikom. Tako se još jednom potvrdila uzajamna povezanost koja vlada izmedju novih matematičkih i fizičkih teorija. To možemo potkrepiti činjenicom da je i kvantna mehanika bila povezana sa razvojem "funkcione analize", ili primetimo da u naše vreme profesor Viten pokušava da za teoriju stringova izgradi jednu novu matematiku.

Ali, vratimo se počecima vektorskog računa, Hamiltonu i njegovom velikom savremeniku Faradeju, jednom od najvećih eksperimentatora koga je dao Zapad.  Njegov legendarni eksperiment, u kome je proizveo strujni tok u namotajima bakarne žice pokretanjem magneta pokraj njih, značiće novu prekretnicu u razvoju tehnike i tehnologije zapadne civilizacije. To kretanje magneta, tj. pretvaranje mehaničkog rada u električnu energiju, bila je osnova za Maksvelova teorijska promišljanja. Još na samom početku svojih promišljanja Maksvel je jasno sagledao da bez novog matematičkog orudja ni njegova teorija neće biti dobro prezentovana. U svom "Traktatu o elektricitetu i magnetizmu" on piše: "Često kad se radi o fizičkom rezonovanju, za razliku od izračunavanja, poželjno je da se izbegne eksplicitno uvodjenje Dekartovih koordinata i da se usredsredi na jednu tačku prostora umesto na njene tri koordinate, kao i na veličinu i pravac sile umesto njene tri komponente. Ovaj način posmatranja geometrijskih i fizičkih veličina je osnovniji i prirodniji od drugog."

"Umesto da interakciju", kao što kaže Kapra, "izmedju pozitivnog i negativnog naelektrisanja tumače tako što će jednostavno reći da se ta dva naelektrisanja medjusobno privlače kao dve mase u njutnovskoj mehanici, Faradej i Maksvel su našli da je primerenije reći kako svako naelektrisanje stvara jedan 'poremećaj' ili jedno 'stanje' u prostoru oko sebe tako da drugo naelektrisanje, kada je prisutno, oseća silu. To stanje u prostoru koje poseduje potencijal da stvori silu naziva se polje. Njega proizvodi jedno naelektrisanje i ono postoji bez obzira da li neko drugo naelektrisanje dospeva u njegovu blizinu kako bi osetilo njegov učinak." - Najjednostavnije rečeno, dok u Njutnovoj racionalnoj mehanici sadašnje stanje izvodimo iz prethodnog na vremenskoj osi, sada, u savremenim teorijama polja, o stanju u jednoj tački zaključujemo iz onoga što se dogadja u neposrednoj okolini te tačke.

Poput Njutna, koji je svoje "Principe" pisao klasično, bez diferencijalnog računa, i Maksvel je svoja promišljanja i beleške vodio uz pomoć Hamiltonovog vektorskog računa (koji možda najviše krasi operator "nabla"), ali svoje radove ipak publikuje na klasičan način. Primetimo da Ajnštajn takvih problema nikada nije imao.

Lorenc, Poenkare, Minkovski i Ajnštajn tragali su za grupama transformacija na koje će Maksvelove jednačine ostati invarijantne. Nasuprot ranijoj analitičkoj fizici, traže se takve funkcije opisa prirode, koje će imati što jednostavniji zakon transformacije koordinata (posmatrano iz ugla opšte kovarijantnosti).  Umesto mehaničke definicije stanja sistema, tj. kretanja pomoću mase i sile, Poenkare i Ajnštajn uvode "matematičku" definiciju stanja pomoću geodezijskih linija u prostoru sa datom strukturom (struktura je odredjena rasporedom datih tela). Tako zakoni nove teorije bivaju nezavisni od izbora koordinata, te je na taj način bio ostvaren Rimanov san o geometrijskoj fizici.

Jedna od ostalih staza sa već pomenute raskrsnice odvešće nas od Hamiltona savremenoj apstraktnoj algebri. Baveći se množenjem dva trodimenziona vektora za potrebe prostorne fizike, a smatrajući realne i kompleksne brojeve specijalnim slučajem kvaterniona, Hamilton je posle petnaestogodišnjeg rada uvideo da mora prevazići fundamentalne zakone klasične algebre. Postulirao je pravila hiperkompleksnih brojeva, koja su bila tako različita od "pravila igre" u klasičnoj algebri, pa se s pravom, zajedno s Galoaom, smatra pronalazačem "apstraktne algebre". Hteli to mnogi da priznaju ili ne, tek, Hamiltonovo nekomutativno množenje u algebri zauzima isto ono mesto koje su neeuklidske geometrije zauzimale u geometriji.

Nikako nije čudno što se to odigralo u Britaniji. Iako se na početku XIX veka grupa mladih matematičara sa Kembridža, na čelu sa Džordžom Pikokom, osmelila da javno proklamuje prednost Lajbnicove simbolike koja je na kontinentu već dala obilje dobrih rezultata i kada se činilo da će Njutnova slava polako zatamneti, spontano je progovorio Njutn preko britanske algebarske škole. Ističem to zato što se obično previdja činjenica da izmedju Euklidove aksiomatike i aksiomatizacije u algebri stoji Njutnova racionalna aksiomatska mehanika.  Danas može da izgleda neverovatno, ali i analiza (diferencijalni i integralni račun), algebra i aritmetika do tog vremena izgledale su kao mnoštvo pravila pogodnih za računanje, a nisu imale oblik aksiomatskih sistema. Tek u XX veku, uz veliku Hilbertovu kampanju, svima je postalo očigledno da izlaganje naučnih teorija u vidu aksiomatskih sistema na najjasniji i najprecizniji način, jednom rečju najbolji mogući način, prikazuje i prečišćava naše znanje. Njutnova aksiomatska dinamika poslužila je kao provokacija britanskim algebristima.

Ako se još jednom vratimo našoj raskrsnici, videćemo da izmedju Njutna i Bula (onoga Bula za koga je Rasel rekao "da je otkrio čistu matematiku" zato što je uključio logiku u algebru) povezujuću kariku čini Hamilton. Baš onaj čovek, koji se toliko borio protiv odeljivanja simbola matematičkih operacija od "stvari u kojima one funkcionišu", tj. protiv "neumerenih apstrakcija" u algebri, postao je sinonim - "algebarske" algebre! I ovaj, eto, primer baca u lice još jednu rukavicu pojmovno-logičkoj epistemologiji, koja tako uporno pokušava da rekonstruiše do tančina proces nastanka jedne ideje.

Hamilton je uvek polazio od stava da se objektivno naučno saznanje ne može baviti suštinom, već samo njenim pojavama, tj. modalitetima. Iako je bio po svojoj osnovnoj struci analitičar, on se živo interesovao za sve eksperimentalne činjenice koje su se - zato što je, u njegovo vreme, sve postajalo predmetom naučnog istraživanja - ubrzano radjale jedna za drugom. Konstruisani su sve precizniji merni instrumenti, čime je bitno bio proširen ukupan horizont stvarnosti. Za razliku od njega, njegovim savremenicima se činilo da će tim novim konstrukcijama biti uklonjena sva ograničenja koja potiču od naše organske konstitucije. Bili su ubedjeni da će osetljivost tih aparata moći neograničeno da se povećava. Svojim radovima u optici Hamilton je indirektno potpomagao eksperimentalne fizičare u konstruisanju sve novijih mernih aparata, a zahvaljujući čemu biolozi i hemičari dobijaju mogućnost da svoju nauku postave na teorijske temelje. Listerov mikroskop je omogućio otkriće ćelije, a konstrukcija mikroskopa sa ahromatskim sočivom omogućila je razvoj mikrobiologije.

U prirodnim naukama podsticala se povezanost teorije i praktičnog znanja, koja je kulminirala u novim - sve brojnijim -inženjerskim školama i tehničkim institutima: 1975. pariska "Ecole Polytechnique", 1806. češki tehnički institut ("Das Böhmische Technische Institut"), 1815. Politehnički institut u Beču, 1821. "Zanatski institut" u Berlinu, zatim slede politehnički instituti: 1825. u Karlsrueu, 1827. u Minhenu, 1828. u Drezdenu, 1831. u Hanoveru... Iza ovih škola stoje mnoge poznate gradjevine XIX veka: mostovi, tuneli, kanali. Za to vreme, medjutim, u društvenom životu vladao je apsolutni raskorak izmedju teorije i prakse, izmedju akcije i misli. Bilo je to vreme kada je "religija bila toliko blaga a netolerancija toliko krvava, politika toliko mudra u knjigama i toliko gruba u praksi, vlade toliko umerene i ratovi toliko surovi. "Pored takvih, stalnih, poremećaja u društvenim sferama, ali i mnogih ličnih trzavica, koje su uglavnom bile vezane za žene i alkohol, Hamilton je uspeo da sa samo trideset godina bude promovisan u sira, u trideset dve da postane predsednik Irske kraljevske akademije, a u trideset osam da mu britanska vlada dodeli stalnu počasnu penziju. Postao je član mnogih uglednih akademija. Pripala mu je čast da medju mnogo velikih (lord Kelvin, Grin, Stoks, Mebijus, Faradej, Om - da pomenemo samo neke) baš on bude prvi inostrani član akademije nauka SAD.

Nema sumnje da Hamilton predstavlja sam vrh naučne tradicije Irske i da je jedan od vrhova evropske misli XIX veka, gde je u društvu sa: Šumanom, Šopenom, V. Tarnerom, Gogoljem, Lobačevskim, Ostrogradskim, Dirihleom, Klauzijusem, Maksvelom, Kekulom, Darvinom. Pre nego što je - drugoga septembra 1865. godine - umro, zaželeo je da mu epitaf bude sastavljen od reči: "Čovek koji je voleo red i istinu"; rekao je: "Veoma dugo divio sam se Ptolomejevom opisu njegovog velikog učitelja astronomije, Hiparha, kao 'čoveka koji voli red i istinu', zato neka takav bude i moj epitaf." Meni se, pak, čini da bi mu najbolje pristajao epitaf u obliku zapisa: