LAGRANŽ - PRINCIP NAJMANJEG DEJSTVA

"Zato će biti puko ime sve ono

što su smrtnici ustanovili u svom

jeziku, ubedjeni da je to istinito."

Parmenid

Ovo saopštenje ima za cilj da obeleži dvestogodišnjicu izlaska iz štampe Lagranževe "Analitičke mehanike", a želja samog Lagranža je bila da tom svojom knjigom uveliča proslavu stogodišnjice pojavljivanja Njutnovog revolucionarnog dela, "Matematičkih principa prirodne filozofije".

Pitanje koje se odmah na početku nameće jeste o samom naslovu ovog prigodnog saopštenja. Zašto, dakle, baš "Princip najmanjeg dejstva", a ne, recimo, "Analitička mehanika"? - Jednostavno zato što ja tu knjigu želim da posmatram najpre iz perspektive današnjeg fizičara, da istaknem posebno mesto koje taj princip ima u savremenoj fizici.

Princip najmanjeg dejstva sažima čitave oblasti stare i nove fizike. Rezultati dobijeni u jednoj oblasti mogu se analogijama preneti u druge, od klasične mehanike, hidrodinamike, elektromagnetizma, teorije relativiteta - do kvantne mehanike.

Da bi fizika započela svoj hod, na samom njenom izvorištu stoji imenovanje, u kojem su se procesu pojavili fizički objekti; oni se medjusobno razlikuju merom i brojem. Zapremina, temperatura, napon, pritisak,... odredjeni su skupom karakterističnih brojnih vrednosti. Baš ti brojevi, pomoću kojih se vrši redukcija stvarnosti na matematičke entitete, oštro razdvajaju taj novi svet fizike od "sveta po sebi". Sami fizički objekti, tako uvedeni, jesu početak i kraj moći toga novog, fizičkog, jezika. Jer, bez odeljenosti fizičkih objekata ne bi bilo moguće konstituisati ni jezik fizike, ali, istovremeno, baš ta odeljenost jeste i prepreka u dosezanju sveobuhvata, tj. jedinstva svega, čemu fizičari a priori streme. Osetljivost naših čula zamenjena je osetljivošću naših instrumenata. Naše beskonačne čulne predstave fizika je redukovala na merne vrednosti, a zatim je te vrednosti svrstala u odredjene klase, što je sve vodilo gomilanju empirijskih zakona. Ti zakoni predstavljaju iskaze o odredjenim konkretnim fenomenima. Ali osnovni zadatak fizike jeste da generalizuje naše iskustvo. U tom cilju stvoreni su principi koji je trebalo da u sebe sažmu čitava područja stvarnosti. Principi su zamišljeni kao matrice iz kojih će se proizvoditi novi prirodni zakoni. U svojoj prethodnoj raspravi "Rast znanja i Njutnovi Principi" pokazao sam da je Njutn u "Principima" dao koncept izgradnje aksiomatskih teorija fizike, i to u vidu trokoraka: hipoteza (postavljanje principa) - dedukcija (deduktivno izvodjenje opažajnih činjenica iz principa) - eksperiment (eksperimentalno proveravanje opažajnih činjenica). I Lagranževa analitička mehanika, kao i sve kasnije aksiomatske teorije fizike, izgradjena je po tom metodološkom receptu. Štaviše, pored metodologije, Lagranž je direktno preuzeo i same osnovne pojmove Njutnove racionalne mehanike: tačku, pravu, ravan, masu, silu i vreme.

Koristeći se uglavnom aparatom sintetičke geometrije, Njutn je u "Principima" izložio prvu aksiomatsku teoriju prirode -  mehaniku. Cvetanje novih analitičkih metoda u prvoj polovini XVIII veka prirodno je nametalo pitanje reinterpretacije Njutnove mehanike. Pravi početak analitičkog prikazivanja mehanike jeste Ojlerova knjiga iz 1736. godine. Baš te, za mehaniku važne godine, rodiće se i Žozef-Luj Lagranž, koji će u svojoj čuvenoj "Analitičkoj mehanici" taj započeti razvoj analitičkih metoda dovesti do vrhunca.

Lagranž, "veličanstvena piramida matematičkih nauka", kako je za njega uobičavao da kaže Napoleon, živeo je u doba kada su se francuski prosvetitelji latili svoga najvećeg poduhvata, sastavljanja kolektivne "Enciklopedije", po uzoru na "Ciklopediju ili univerzalni rečnik" Engleza E. Čembersa (objavljeno u Londonu 1728. godine), kao "sredjenog rečnika nauke, umetnosti i veština". To veliko delo pokrenulo je sumnju u do tada vladajuće dogme, te je tako postalo Biblijom francuske revolucije iz 1789. Pored ove, Lagranž je bio svedok još dve velike revolucije: industrijske (za koju se može smatrati da je počela 1760.) i američke (iz 1775.); s druge strane, bio je savremenik i Fridriha Velikog, Katarine Velike, ali i Voltera, Rusoa, Kanta, Fihtea, Hjuma, Ramoa, Mocarta, Kulona, Lamarka, Adama Smita, Lomonosova, pa i našeg Rudjera Boškovića, te je, na svoju veliku nesreću, prisustvovao i giljotiniranju svoje velike zaštitnice Marije Antoanete i svog odanog prijatelja Lavoazjea; a na kraju, da bi ironija bila potpuna, on će postati idol tog istog naroda koji se pokazao krvnikom ono dvoje!

Pa ipak, bilo je to doba prosvetiteljstva i romantizma, tačnije doba u kome su vladali kult razuma i kult osećajnosti. Ta svojevrsna mešavina razuma i osećanja dala je niz velikih naučnih otkrića. Najveća naučna zabava tog doba bio je elektricitet. O tome šta je elektricitet prvi je Franklin izneo svoje mišljenje; 1752. je pokazao da je i munja oblik elektriciteta, a 1760. konstruisao je gromobran. Galvani je opazio, a Volta uspeo da precizno izmeri, to čarobno vrelo elektriciteta, te je tako započela ubrzana gradnja aparata za proizvodnju i čuvanje elektriciteta. Konstruisanjem stalnih izvora električne struje, posle 1800. godine, širom su bila otvorena vrata nauci o elektricitetu. Dalje, iz alhemije, farmacije i metalurgije preciznim analitičkim merenjima kondenzovana je hemija gasova. Stara antička ideja da je priroda sastavljena od četiri elementa konačno je bila napuštena. Kevendiš odredjuje specifičnu težinu vodonika. Otkrivajući kiseonik, Pristli pobija alhemijsko poimanje vatre i omogućuje Lavoazjeu da dodje do principa konzervacije mase [1], a baš će taj princip učiniti da se i hemija počne smatrati egzaktnom naukom.

Napuštani su i stari zanati, tehnika je kretala novim putevima. Racionalnost XVIII veka uveliko je bila stavljena u službu ispunjavanja ljudskih želja. Vodena para, koju je još i Heron koristio za pokretanje neobičnih igračaka, sada je počela pokretati ogromne mehanizme, brodove, lokomotive. Savremena tehnika radjala se tako iz saveza kapitala sa eksperimentalnom naukom. Ljudi su konačno shvatili da je nemoguće konstruisati idealnu mašinu (perpetuum mobile), tj. spoznali su da je nemoguće dobiti rad ni iz čega. Tačna merenja su počela bistriti ljudske umove, te su se tako približavali zakonu o održanju energije. Ali kako iz prirode izvući energiju? Kako ona prelazi iz jednog u drugi oblik? - Tim pitanjima nisu se bavili samo naučnici i tehničari, već i umetnici, filozofi; Blejk peva: "Energija je večni užitak". Energija i znanje su polako postajali moć.

Engleska, koja je zbog svoje specifične istorije prva raskrstila sa religijskim istinama i feudalizmom, bila je u vodjstvu. Da ne bi zaostali, Francuzi su se počeli koristiti svim idejama zasejanim u Engleskoj. Centralna ličnost francuskog prosvetiteljstva, Volter, koji je u Engleskoj video zemlju istinskih političkih i verskih sloboda, zalagao se za potiskivanje Dekartovih i Lajbnicovih ideja i svesrdno je pomagao širenje engleske filozofije i kulture u Francuskoj. On nikada nije zaboravio susret sa Njutnom, kao ni njegovu svečanu pogrebnu ceremoniju u Vestminsterskoj opatiji 1727. godine. Tom Volteru [2] duguje i Lagranž svoje povezivanje sa Njutnovim genijem.

U školi u svom rodnom Torinu, posle upoznavanja sa Euklidovim i Arhimedovim radovima, Lagranž slučajno dolazi do eseja Njutnovog kolege Haleja, u kome se iznosi prednost diferencijalnog računa nad sintetičkim metodama geometrije. Upravo tom radu imaju da zahvale matematika i fizika što su u svoje redove svrstale još jednog genija. Sa samo šesnaest godina Lagranž je postao profesor matematike u kraljevskoj artiljerijskoj školi u Torinu. Tada i počinje sa objavljivanjem svojih naučnih radova - od primene diferencijalnog računa u verovatnoći, preko varijacionog računa, do problema vibracije žice. Ferma i Dekart su uvodjenjem koordinata trasirali put pojmu funkcionalne veze izmedju dve promenljive veličine. Preko Gregorija, Njutna, Lajbnica i Bernulijevih pojam funkcije je polako sticao svoju legitimnost. Jednakost kao što je    definiše krivu povezivanjem koordinata svake tačke na njoj. U veku analitičkih metoda postavljalo se pitanje kako analitički pojam funkcije osloboditi od geometrijske predstave.

Nekako paralelno sa razvojem pojma funkcije formirao se i znameniti integro-diferencijalni račun. Njutn je prvi primetio da se mnogi fizički zakoni mogu jednostavnije izraziti pomoću diferencijalnih simbola nego na ma koji drugi način. Na toj ideji, ali i na Lajbnicovoj simbolici, sazdali su svoje "kraljevstvo" Ojler, Dalamber i Lagranž. Diferencijalne jednačine ne vezuju promenljive  y  i  x  direktno; one se služe potpuno drugom metodom. Diferencijalna jednačina definiše krivu kazivanjem pravca u kome ona prolazi kroz svaku od svojih tačaka.

Ali, govoriti o realitetu matematičkim simbolima nije ni malo lako. Ubrzo se pokazalo da je, na primer, oscilovanje žice ili ploče nemoguće predstaviti običnim diferencijalnim jednačinama. Zato je 1715. godine Tejlor postavio, a d'Alamber prvi rešio, takozvanu "jednačinu sa diferencijom", danas poznatu kao parcijalna jednačina. Skoro da je suvišno napominjati da su Ojler i Lagranž bili ti koji su iznašli opšte metode za integraciju ovih jednačina.

I sam varijacioni račun, koji u pravom analitičkom obliku započinje tek sa Ojlerom, bio je jedna od metoda koja je trebalo da pomogne pri rešavanju praktičnih problema, kao što su, na primer, problem dimenzionisanja gradjevinskih elemenata, grede i stuba, ili problem odredjivanja oblika tela tako da moment inercije pri rotaciji bude minimalan. Ti su problemi bili iskristalisani u tri praktična zadatka: brahistohrone, geodezijske linije i izoperimetrijski zadatak. Dok kod problema brahistohrone odredjujemo minimalno vreme, kod problema geodezijske linije odredjuje se minimalna dužina linije koja leži na zadatoj površi (problem rešio N. Bernuli 1697), a kod izoperimetrijskog problema odredjujemo krivu koja zadovoljava dva uslova: jedan se odnosi na njenu dužinu, a drugi na ekstremalnost obuhvaćene površine. Nije teško zaključiti da je zajedničko za ova tri zadatka, ali i za svaki budući varijacioni zadatak, to što je potrebno odrediti krivu (funkciju) tako da ona minimizira ili maksimizira neki dati integral; taj integral, po Adamarovom predlogu, danas nazivamo funkcional. Taj je zadatak izuzetno složen zato što tu više nije reč o maksimumu ili minimumu (apsolutnom ili relativnom) neke funkcije jedne ili više realno promenljivih, tj. ono što se menja pod integralom nije više broj, već funkcija  ,  koja prolazi odredjen skup funkcija  G.  Prirodno, i ovde se zahteva da važi nejednakost tipa    za svako  y  iz neke okoline  .  Problem je, samo, šta je sada okolina tačke u ovom apstraktnom skupu funkcija  G.  Šta je to okolina bilo koje funkcije? Ojlerovom je varijacionom računu nedostajala matematička strogost. Po samom Ojlerovom svedočenju, tek je sa Lagranževim radovima, koji su u periodu od 1759. do 1761. godine publikovani u analima Torinske akademije nauka, varijacioni račun stekao svoj današnji analitički oblik.

Tako je već u dvadeset četvrtoj godini Lagranž postao priznat i poznat u Evropi kao jedan od najvećih matematičara. Godine 1764. za rešenje problema tri tela (Zemlja, Mesec, Sunce) on dobija veliku nagradu Francuske akademije nauka. Dok se problem dva tela mogao rešiti u konačnom obliku, dotle je to sa problemom tri tela bilo nemoguće. Lucidni Lagranž rešava problem u dva specijalna slučaja: kada se tela nalaze u temenima jednakostraničnog trougla, kao i kada su na pravoj liniji, kojom prilikom su medjusobna rastojanja data unapred. Osim ovoga, Lagranž je kasnije dao i rešenje problema tri tela u tzv. "užem smislu", tj. kada je masa jednog od tela zanemarljivo mala, što u današnje "satelitsko doba" naročito dobija na važnosti. Godine 1766. nagrada se ponovila, jer je ovog puta na sasvim korektan način približno rešio problem šest tela (četiri Jupiterova satelita, Jupiter, Sunce).

Čuvši za takve Lagranževe uspehe, Fridrih Veliki ga poziva da, posle Mopertuija i Ojlera, on bude direktor fizičko-matematičkog odeljenja Berlinske akademije nauka, na kojoj je svojevremeno boravio i Volter. Punih dvadeset godina Lagranž je neprestano publikovao radove u zbornicima Berlinske akademije. I baš u njoj on će se uzdići do personifikacije novog tipa naučnika, koji će postati uzor kasnijim pokoljenjima. On je to postigao ne samo svojim matematičkim genijem, jer su istu takvu genijalnost posedovali i njegovi veliki prethodnici - d'Alamber i Ojler - nego i zato što u njegovim radovima nije bilo nikakvih metafizičkih i teoloških rasprava. Od renesanse vekovima pripremana autonomija nauke u odnosu na teologiju i metafiziku, koja je - neprimećeno - zasijala još kod Njutna, ponovo se, tako, pojavila u Lagranževim radovima. Lagranž je Evropom proneo slavu prvog "čistog" naučnika. Jer, fizičko iskustvo isprepletano sa matematičkim rasudjivanjem - jedino je što se može naći u njegovim radovima, bez ikakvih primesa u stilu Ojlerovih "Pisama nemačkoj princezi". Kao ni Njutn, tako ni Lagranž nije naučne istine smatrao apsolutnim i kategoričkim istinama, već je nauku doživljavao kao putokaz - kao radna uputstva sugerisana iskustvom, a stvorena u svetlu razuma.

Nakon smrti Fridriha Velikog, Lagranž prihvata poziv Luja XVI da nastavi svoj rad u Pariskoj akademiji nauka. Godine 1787. Marija Antoaneta mu u Parizu priredjuje veličanstven doček. To je bila godina u kojoj je još doterivao svoje remek-delo započeto u Torinu - svoju mehaniku koja će biti isključivo zasnovana na simboličkom jeziku algebre i analize. "Onaj ko voli matematičku analizu, sa zadovoljstvom će uvideti da mehanika postaje novim delom analize i biće mi zahvalan za takvo proširenje područja njene primene." I dodaje: "Ja hoću svesti teoriju mehanike i veštinu rešenja koja se odnosi na njene zadatke na opšte formule iz kojih slede sve jednačine, neophodne za rešavanje bilo kog njenog zadatka."

Po uzoru na Njutna, koji je na isti ontološki nivo doveo mirovanje i kretanje, Lagranž u svojoj "Analitičkoj mehanici" na analitički način obuhvata statičke i dinamičke zakone. Kritički raspravlja o lokalnim principima i zakonima statike svojih prethodnika: Arhimeda (zakon poluge), Stevina (ravnoteža na strmoj ravni), Galileja (zakon koturače), zatim Dekarta, Toričelija, Bernulijevih, Varinjona, da bi tek potom dao osnovni princip statike, koji danas obično nazivamo principom mogućih pomeranja, po kome je, u slučaju ravnoteže sistema materijalnih tačaka, zbir radova spoljašnjih i unutrašnjih sila, za moguće pomeranje koje zadržavajuće veze dopuštaju, jednak nuli, uz pretpostavku da su početne brzine svih tačaka sistema jednake nuli. Osnovna prednost ovako uvedenog principa ogleda se u primeni na složene sisteme, a sastoji se u tome što se ravnoteža sistema može odrediti bez rastavljanja sistema na osnovne elemente, kako se inače u statici činilo. Spajajući princip mogućih pomeranja sa d'Alamberovim principom, Lagranž uvodi opštu jednačinu dinamike, danas poznatu pod imenom d'Alamber-Lagranžev princip, koji glasi: "Pri proizvoljnom kretanju materijalnog sistema sa idealno zadržavajućim vezama, u svakom trenutku zbir radova [3] svih aktivnih sila i svih uslovno pridodatih sila inercije na svakom mogućem pomeranju sistema jednak je nuli."

Ovaj diferencijalni princip, kao svojevremeno i Njutnovi aksiomi, nije nikakva induktivna generalizacija, niti iskaz o onome što se stvarno dešava; to je jedna pojmovna A PRIORI data šema iz koje se, kao i iz Njutnovih aksioma, mogu izvesti eksperimentalni zakoni kretanja. Značaj ovog principa za filozofiju nauke bio je, pre svega, u tome što je konačno postalo očigledno da jedno opaženo kretanje tela ne propisuje samo po sebi ni jedan poseban način opisivanja tog procesa. Opažena kretanja mogu se analizirati na različite načine. Kritički posmatrano, Njutnova i Lagranževa mehanika se nisu razlikovale u svojoj biti, jer su i jedna i druga iz trenutnog stanja sistema izvodile evoluciju posmatranog dinamičkog sistema. Povezuju ih istovetna reverzibilnost i uzročnost.

Pored diferencijalnog principa koji se formira lokalno, za odredjeni trenutak vremena, Lagranž formira i jedan integralni princip, kojim uporedjuje konačna pomeranja za konačne vremenske razmake, a koji je danas uglavnom poznat kao Mopertui-Lagranžev princip najmanjeg dejstva.

Predistorija ovog principa nalazi se još u mitovima i legendama. Tako je, u legendi o osnivanju Kartagine, Muton, tirski kralj, ostavio presto svojoj deci, Didoni i Pigmalionu, ali je narod za vladara postavio muškog naslednika. Nezadovoljna Didona luta morima i u Africi kupuje zemlju, sklopivši lukav ugovor da njena veličina odgovara veličini kože bika. Ona kožu iseca na tanke kaiševe, koje nastavlja jedan na drugi i tako uspeva da obuhvati maksimum zemljišta, na kome gradi svoje kraljevstvo, prelepi grad Kartaginu. Umesto da krajeve sastavi, ona ih je otavila otvorenim, jer su pali na obale mora. Tako je Didona rešila, mi bismo danas rekli, izoperimetrijski varijacioni zadatak: data je jedna kriva (morska obala), a znajući konfiguraciju terena, treba povući novu krivu date dužine (dužina spojenih kaiševa od kože) tako da površina obuhvaćenog zemljišta unutar ove krive i one zadate bude maksimalna.

Sama istorija principa najmanjeg dejstva, medjutim, započinje Heronovom postavkom principa najkraćeg puta svetlosti. Problem se pojavio onda kada je uočeno da pri prelamanju, tj. pri prelasku svetlosti iz jedne u drugu sredinu, ona ne sledi najkraći put. Posle spora sa Dekartom, kritički se odnoseći prema Aristotelovoj filozofiji, po kojoj priroda uvek bira najkraći put, Ferma uočava da najkraći put ne mora nužno da bude i najbrži, te formuliše svoj princip najkraćeg vremena, po kome, ako svetlosni zrak, polazeći iz tačke  A  u nekoj sredini, stigne do tačke  B  u drugoj sredini, varijacija integrala

          (pri čemu je  )

jeste jednaka nuli. Ovo je, naravno, savremeni zapis ovog principa, jer u Fermaovo vreme varijacioni račun još nije bio konstruisan. Pri gradnji svog principa, Ferma je koristio Snelov empirijski zakon prelamanja, konstruišući istovremeno, za razliku od Dekarta, hipotezu da se svetlost sporije kreće u gušćoj sredini. Godine 1682. Lajbnic publikuje svoja razmišljanja o problemu prelamanja svetlosti i Fermaovom principu. On formuliše princip "najlakšeg" puta. Ali, to je bio ponovni povratak Dekartovim izvornim idejama; tako Lajbnic sasvim pogrešno zaključuje da se, zbog manjeg rasejavanja, svetlosni zraci brže kreću u staklu, nego u vazduhu. Sve do Njutna ekstremalnost je tražena samo u optičkim pojavama. To nikako nije iznenadjujuće, jer je teorija svetlosti u to vreme bila pre svega uprošćena geometrijska optika. Preneti zadatak ekstremalnosti u mehaniku značilo je sudariti se sa pojmom dejstva.

Njutn, koji je u mnogo čemu već bio prvi, bio je to i na ovom polju delatnosti. On je prvi uspeo tačno da reši tri ekstremalna zadatka u dinamici. Sasvim neopravdano istoričari nauke su potpuno zapostavili ova tri tako važna zadatka za razvoj varijacionog računa. Podsetimo da je tek devet godina posle objavljivanja "Principa" Johan Bernuli postavio problem brahistohrone, koji se svojom atraktivnošću nametnuo kao temelj početka razvoja varijacionog računa, uprkos činjenici da je Njutn već u to vreme vladao elementima koji čak prelaze okvire tog kasnije razvijenog računa.

U drugoj knjizi "Principa", koja zajedno sa prvom sačinjava celinu "De motu corporum", tj. "O kretanju tela", u propoziciji XXXV Njutn daje teoremu 28: "Ako se, u retkoj sredini koju čine jednake čestice slobodno rasporedjene na medjusobno jednakim rastojanjima, kugla i cilindar, jednakih prečnika, kreću jednakim brzinama, u pravcu ose cilindra, otpor kugle biće dva puta manji od otpora cilindra." Zatim Njutn definiše retku sredinu, pa dokazuje teoremu. I sada kao kruna sledi zaboravljeni sholijum, koga zbog važnosti prenosim u celini iz prvog izdanja "Principa", uz originalne Njutnove skice:

"Eadem methodo figurae allae inter se quoad resistentiam comparari possunt, eseque inveniri quae od motus suos in Mediis resistentibus continuandos aptiores sunt. Ut si base circulari  CEBH,  quae centro  O,  radio  OC  describitur, et altitudine  OD,  construendum sit frustrum coni  CBGF,  quod omnium eadem basi et altitudine constructorum et secundum plagam axis sui versus  D  progredientium frustorum minime resistatur: viseca altitudinem  OD  in  Q  et produc  OQ  ad  S  ut sit  QS  aequalis  QC,  et erit  S  vertex coni cuius frustum quaeritur.

Unde obiter cum anglus  CSB  semper sit acutus, consequens est, quod si solidum  ADBE  convolutione figurae Ellipticae vel Ovalis  ADBE  circa axem  AB  facta generetur, et tangatur figura generanx a rectis tribus  FG, CH, HI  in punctis  F, B  et  I,  ea lege ut  GH  sit perpendicularis ad axem in puncto contactus  B,  et  FG, HI  cum aedem  GH  contineant angulos  FGB, BHI  graduum 135: solidum, qoud convolutione figurae  ADFGHIE  circa axem eundem  CB  genertur, minus resistitur quam solidum prius; si modo utrumque secundum plagant axis sui  AB  progrediatur, et utriusque terminus  B  praecedat. Quam quidem propositionem in constuenndis Navibus non inutilem futuram esse censeo.

Quod si figura  DNFG  eiusmodi sit ut, si ab eius puncto quovis  N  ad axem  AB  demittature perpendiculum  NM,  et a puncto date  G  ducatur recta  GR  quase parallela sit rectas figuram tangenti in  N,  et axem productum secet in  R,  fuerit  MN  ad  GR  ut  GR  cub. ad  4BR GB:  Solidum quod figurae huius revolutione circa axem  AB  facta describitur, in Medio raro et Elastico ab  A  versus  B  velocissime movendo, minus resistetur quam aliud quodvis eadem longitudine et latitudine descriptum Solidum circulare."

U svojoj suštini, u ovom se sholijumu postavlja problem ekstremalnosti i daju tačna rešenja koja su zasnovana na uslovu minimalnosti sile otpora. Ukratko, tu se radi o tri varijaciona zadatka:

Od svih zarubljenih pravih konusa jednakih kružnih osnova  CEBH  i jednakih visina  OD  (pogledati skicu 1), najmanji otpor kretanju u retkoj i elastičnoj sredini imaće onaj, čije su izvodnice odredjene tačkom  S,  koja se dobija kada se u tački  Q,  sredini visine  OD,  nanese duž  OS,  jednaka dužini  CQ.

Ako u tačkama  F,  B  i  I  (pogledati skicu 2), eliptične ili ovalne figure, povučemo tangente duži  FG,  GH,  HI  tako da je  Ð FGB = Ð BHI = 135,  telo koje se dobija obrtanjem figure  ADFGHIE  oko ose  AB,  imaće manji otpor kretanju u retkoj i elastičnoj sredini, u pravcu ose  AB,  nego telo nastalo obrtanjem figure  ADBE.

Ako je  DNFG  (pogledati skicu 2) takva kriva da, kada iz proizvoljne tačke  N  povučemo normalu  NM  na osu  AB  i iz date tačke  G  povučemo duž  GR  paralelno tangenti nakrivoj u tački  N,  važi proporcija:

MN : GR  =  GR3 : 4(BR)(GB)2

onda telo, koje se dobija obrtanjem ravne figure oko ose  AB,  trpi najmanji otpor kretanja u retkoj i elastičnoj sredini u poredjenju sa bilo kakvim drugim telom iste širine i dužine. Kako se danas, uz pomoć principa maksimuma Pontrjagina, mogu rešiti ovi zadaci - može se pregledno naći u radu Josifa Vukovića pod naslovom "O jednom Njutnovom problemu optimalnosti". Njutnovi rezultati, tj. rešenja koja su vezana za problem ekstremalnosti, čekaju i danas na svoje potpuno priznanje.

Hajgens, koji je bio vrsni eksperimentator, analizirajući rezultate svojih eksperimenata koji su bili vezani za kretanje materijalne tačke u polju sile Zemljine teže po cikloidi, zaključio je da ta kriva ima osobinu izohronosti (tj. osobinu po kojoj period oscilovanja ne zavisi od početnih uslova, već samo od poluprečnika generatrise kruga generatora cikloide) i tautohronosti (tj. osobinu materijalne tačke da puštena niz cikloidu bez početne brzine iz bilo koje tačke stiže u svoju najnižu tačku za isto vreme). Baš ti su rezultati potakli Bernulijeve da, izučavajući problem brahistohrone, izmedju svih krivih posebnu pažnju obrate na cikloidu. Godine 1696. Johan Bernuli je evropskim matematičarima postavio sledeći zadatak: da kroz dve slučajno izabrane tačke u vertikalnoj ravni koja se nalazi u homogenom polju sile Zemljine teže odrede oblik one krive po kojoj će tačka, krećući se bez trenja, preći zadati put za najkraće vreme. Problem brahistohrone rešili su tada Njutn, J. Bernuli, Lopital.

Da bi se krenulo dalje od problema brahistohrone, bilo je potrebno uvesti koncept dejstva. Osnovna metafizička postavka "principa najmanjeg dejstva" u mehanici pripada "velikom spljoštivaču", Francuzu Mopertuiju. Naime, jedno od bazičnih pitanja koja su sebi postavljali naučnici XVIII veka bilo je i ono o obliku Zemlje. Kartezijanci su tvrdili da je Zemlja na polovima izdužena, a iz Njutnove kosmološke teorije sledilo da je Zemlja baš na polovima spljoštena. U periodu od 1735. do 1737. spor je trebalo da razreše dve ekspedicije -  u Peru i Laponiju (na čelu ove druge nalazio se lično Pjer Mopertui) - da bi se izmerila veličina jednog stepena geografske dužine. To je bila samo još jedna od mnogih potvrda nadmoćnosti Njutnovih teorija nad Dekartovim. Na taj dogadjaj Mopertuiju je ostala uspomena u vidu nadimka "veliki spljoštivač". Prema Mopertuiju "jednostavnost tera prirodu da deluje na takav način, da se delovanje svodi na najmanju moguću meru". Ali, šta je dejstvo? - Mopertui mu ne daje precizno kvantitativno odredjenje. Tek u Ojlerovim radovima Mopertuijeve zamisli su, uz pomoć novorazvijenih analitičkih metoda, dobile egzaktan fizički smisao. Izoperimetrijski zadatak koji je postavio Jakob Bernuli rešio je Ojler 1740. godine, držeći se ideje Johana Bernulija da ako neka kriva linija ima maksimum ili minimum, onda i svaki njen beskonačno mali deo ima ista svojstva. Na kraju rasprave o izoperimetrima, koja je štampana u Lozani 1744. godine, Ojler pokazuje da se, od svih mogućih trajektorija, kretanje materijalne tačke u polju centralne sile odvija po onoj za koju je varijacija integrala

jednaka nuli.

Razvijajući, sa svoje strane, varijacioni račun, uvodeći posebnu oznaku za operator mogućeg pomeranja, Lagranž svodi princip najmanjeg dejstva na variranje integrala izmedju dve fiksne granice. Za razliku od Ojlera, Lagranž pod integral uvodi kinetičku energiju ("živu silu"), tako da mu vreme postaje nezavisno promenljiva veličina, te se funkcional, tj. integral dejstva, može pisati u obliku:

Tako princip najmanjeg dejstva glasi: od svih krivih  C  koje prolaze kroz tačke  P1  i  P2,  a za koje potpuna energija ima jednu te istu vrednost, linija putanje (direktan put) je ona kriva za koju dejstvo  B  ima stacionarnu vrednost. Pitanje kada dejstvo  B  na direktnom putu ima najmanju vrednost danas se rešava pomoću kinetičkih fokusa. Iz ove formulacije principa, medjutim, očigledno proizilazi neadekvatnost njegovog opšteusvojenog naziva. Svakako bi mnogo adekvatniji naziv bio: princip stacionarnog dejstva.

Ovaj Lagranžev integralni princip ekvivalentan je Njutnovoj racionalnoj mehanici, ali samo kada su veze holonomne. Iako danas mnogo korišćen, on je u početku dugo čekaao na svoju legitimnost; tako je još 1837. Poason govorio da je to "samo jedno nekorisno pravilo". U XIX veku, kada su ustanovljene konverzije izmedju mehaničkog kretanja, toplote, elektriciteta i magnetizma, zakoni održanja energije počeli su se činiti pogodnijim za opšte generalizacije u fizičkim teorijama. Paralelno sa tim novim tokovima, nesmetano se nastavlja i razvoj principa najmanjeg dejstva. Hamilton ga transformiše tako što pod integral uvodi funkciju L = T - V, takozvani LAGRANŽIJAN, a zatim slede doprinosi Jakobija i Dirihlea. Helmholc je u nekoliko radova, a naročito u svom akademskom saopštenju "O fizičkom značenju principa najmanjeg dejstva" iz 1886. godine, tom principu udahnuo novi život. On iz principa najmanjeg dejstva izvodi zakon održanja energije i odatle zaključuje da taj princip prevazilazi granice klasične mehanike. Teorija relativnosti i kvantna mehanika potvrdile su velika "heuristička" očekivanja koja je Helmholc vezao za ovaj princip. Šredinger je izgradio most izmedju Fermaovog i Hamiltonovog principa. Danas, Fejnmanov integral putanje obećava jedinstven matematički pristup u okvirima nove fizike. Ali danas više nema mesta verovanju da bilo kakav matematički princip može nadići iskustvo. Bez obzira na svu njegovu univerzalnost, ni princip najmanjeg dejstva, kao uostalom ni bilo koji drugi princip, ne sme se apsolutizovati - on nam ne govori direktno o prirodi, već je deo teorijski modeliranih sistema. Problem definisanja samog dejstva, tj. njegovo večito aposteriorno uvodjenje, bitno umanjuje njegovu vrednost u konstituisanju novih fizičkih teorija. A apsolutizovanje principa najmanjeg dejstva, u želji da se njime opiše sve, u praksi ga postepeno transformiše u neoperativnu i nerazumljivu metaforu. U svom kapitalnom delu Lagranž je sa krajnjmom strogošću, mudrošću i konsekventnošću sproveo Njutnov stav o tome da predmet spoznaje mogu biti samo činjenice, tj. da se mogu saznati samo odnosi izmedju pojava, ali ne i njihova bit, i da predmet saznaja ne može biti ni pitanje o prvim uzrocima.

Zahvaljujući svom talentu da dobro razmisli pre nego što bilo šta kaže, Lagranž je uspeo da bezbedno prebrodi nedaće revolucije. Tako je najskromniji i najveći matematičar XVIII veka postao miljenik i Napoleona, koji je od njega načinio senatora, grofa i velikog oficira Legije časti.

U XVIII veku iskustvo i praktično znanje u novoosnovanim inženjerskim školama racionalno je analizirano. Za vreme francuske revolucije nastava je u visokim školama bila prekinuta iz preventivnih razloga. Monž je uspeo da izdejstvuje kod revolucionarne vlade da se organizuje jedna inženjerska škola sasvim novog tipa. U njoj su sve povlastice pri upisu bile ukinute; uveden je prijemni ispit; težište rada je bilo na matematici, teorijskoj mehanici i fizici. Ta je škola otpočela sa radom krajem 1794. godine, a glasovito ime Ecole Normale dobila je 1795. U njoj su predavali najistaknutiji francuski naučnici tog doba: Lagranž, Monž, Lazar Karno, Furije,... Kada je 1797. otvorena velika pariska tehnička škola, Ecole Polytechnique, Lagranž je u njoj pred očima svojih djaka razvijao nove matematičke metode. [4] Tamo gde je on zastao produžio je njegov naslednik na katedri, Luj Koši, čiju je buduću veličinu Lagranž lucidno predvideo. U razvoju nauka koje su se proučavale u toj novoj velikoj školi, pored Lagranža i Laplasa, učestvovao je ponovo i Monž, začetnik nacrtne geometrije (koja je čitavih petnaest godina čuvana kao velika vojna tajna!) - a zatim i njihovi djaci: Koriolis, jedan od tvoraca tehničke mehanike, Navije i Sen Venan, pioniri teorije elastičnosti, Ponsele, antipod Lagranžev, koji je želeo da "oslobodi geometriju od hijeroglifa analize", te je tako stigao do projektivne geometrije, zatim Poason, Malis, Frenel, Amper, N. Karno, Bio, Gej-Lisak,... Iako je bio skeptičan prema daljem razvoju matematike (progres je video isključivo u razvoju prirodnih nauka), Lagranž je i poslednje godine svoga života proveo diveći se drugima, bodreći ih, ali i direktno ih pomažući, mada su oni često imali sasvim drugačije vizije od njegovih - Furije, Ležandr, Gaus, Pfaf,...

Poslednji projekat na kome je Lagranž radio bio je vezan za uvodjenje jednoobraznog sistema mernih jedinica. Umro je 1813. godine i sahranjen u monumentalnoj zgradi pariskog Panteona. Iza njega ostalo je njegovo veliko delo, a vrh Lagranževe "veličanstvene piramide" krasi njegov princip najmanjeg dejstva, koji nam otvara mogućnosti da gledamo i ispred sebe i za sobom. Taj nas princip uči da pronadjemo pravac u kome ćemo se dalje kretati. On nam sugeriše da se neprestano moramo uzdizati iznad ravni opažanja, pa čak i iznad ravni eksperimentalnih podataka i pojedinih zakona, ne bismo li onda, unutar svih tih ravni, ponovo stali na čvrsto tlo. Prevazilaženje i uzdizanje koje se ovde predlaže služi pre svega izgradnji i učvršćenju iskustva.

---

[1] Antoine Lavoisier, "Traité élémentaire de chimie", Paris, 1789

[2] Godine 1734. Volter je objavio "Pisma o Englezima", a 1759. Volterova prijateljica, madam di Šatel, prevela je "Principe" na francuski jezik.

[3] Lagranž pod Galilejevim uticajem RAD naziva MOMENTOM.

[4] Na pr. "Théorie des fonctions analytiques", Paris, 1797.