Matematika: Između brojeva i stvarnosti
Brojke stoje iza nekih od najvažnijih naučnih otkrića i
promenile su način na koji posmatramo univerzum. Ali da li je i naša fizička
realnost matematička?
IZVOR: BBC UTORAK, 14.01.2020. | 11:31
Getty Images
Pomislite samo na Neptun. Zašto? Zato što je, na prvi
pogled, nevidljiv.
Čak i uz pomoć dobrog teleskopa.
Na 4.3 milijarde kilometara od Zemlje, osma planeta našeg
Sunčevog sistema izgleda kao bela tačkica na nebu.
Kako žive levoruki u svetu desnorukih
Zbog čega je broj 6174 misteriozan za matematičare
Zbog toga su nas planete koje su bliže Zemlji, kao što su
Venera ili Mars - a koje toliko jarko blešte na noćnom nebu - od davnina
oduševljavale.
Za razliku od njih, za postojanje Neptuna saznalo se tek u
19. veku.
Otkriće ove planete bilo je važno iz dva razloga.
Uran i Neptun
NASA
NASA
Ne samo da smo pronašli novog suseda, već je "Neptun
obeležio početak našeg istraživanja Sunčevog sistema, zato što nije otkriven
gledanjem u nebo našim očima ili uz pomoć teleskopa", kaže Lusi Grin,
astrofizičarka iz Malardove svemirske naučne laboratorije sa Univerzitetskog
koledža u Londonu.
Neptun je otkriven zahvaljujući matematici.
U devetnaestom veku, pravilno su shvaćeni Njutnovi zakoni
gravitacije, a sa njima su mogle da se predvide i orbite planeta koje se obrću
oko Sunca.
Sem orbite Urana - otkriveno je da ona blago odstupa od
očekivane putanje.
U ono vreme, to je bila najdalja poznata planeta od Sunca i
neki naučnici su spekulisali da možda Njutnovi zakoni gravitacije ne
funkcionišu na tolikoj udaljenosti.
Ali drugi su se pouzdali u matematiku i shvatili da u
blizini Urana mora da postoji nekakvo ogromno telo koje menja putanju ove
planete oko Sunca.
"Oni su izračunali šta, kako i gde. I kad su usmerili
teleskop u pravcu oblasti na koju je ukazala matematika, otkrivena je nova
planeta", kaže Grin.
Getty Images
Getty Images
Otkriće Neptuna zabeleženo je u istoriji kao dokaz da
matematika nije izmišljena, već da postoji.
I upravo je to zaintrigiralo slušaoca BBC emisije Kraud
Sajens Serđa Huarkajua iz Perua.
"Od Galileja koji je mogao da predvidi brzinu lopte dok
se kotrlja niz padinu, do, na primer, postojanja Higsovog bozona, predviđenog
matematikom pre nego što je čestica pronađena u stvarnosti, ta moć da se
predvidi postojanje stvari koje nisu viđene golim okom deluje mi
fantastično", napisao je on.
"Da li je matematika model, opis, metafora za
stvarnost... ili je ona stvarnost sama?"
Ovo pitanje hiljadama godina muči i filozofe - i dalje je
uzrok velikog neslaganja.
Ne postoji negativna torta
Getty Images
Getty Images
Gotovo je sigurno da su ljudi počeli da se bave matematikom
iz ovozemaljskih razloga, kao što je prebrojavanje i merenje stvari, tako da
počnimo odatle.
Uzmimo kao primer tortu.
Matematika može da nam saopšti svakakve stvari o toj torti:
njene dimenzije, težinu, kako je rasparčati - i sve to na vrlo opipljiv način.
A torta može da nam pokaže da matematika dopire tamo gde
stvarnost ne doseže.
Ukoliko pojedete trećinu torte, ostale su vam dve trećine.
Za sada je sve kako treba. Ako pojedete i preostalu trećinu,
pa još jednu, ne ostaje vam ništa.
"Mi opisujemo mentalne konture naših predaka",
kaže Aleks Belos, autor matematičkih knjiga.
"Oni su koristili praktičnu matematiku da bi merili i
brojali, ali nisu stigli do negativnih brojeva."
Getty Images
Getty Images
Ako se vaš koncept stvarnosti sastoji od predmeta koje
možete da izmerite i prebrojite, teško vam je da zamislite bilo šta što je
manje od nule.
O dugovima i negativnim brojevima
Čim pojedete i poslednje mrvice te torte, gotovo je: ne
postoji negativna torta.
Međutim, kaže Belos, postoji oblast u kojoj koristite
negativne brojeve i potpuno je prirodno da razmišljate o njima.
Belos govori o novcu.
"Možete da posedujete novac, ali isto tako možete i da
ga dugujete. Prva praktična upotreba negativnih brojeva bila je u kontekstu
bankovnih računa i dugovanja", kaže on.
Ukoliko dugujete pet dolara, a ja vam dam tu sumu, imaćete
nula dolara.
Istine i zablude o neuronauci
Preispitivanja Čarlsa Darvina oko "gnusne misterije“
koja ga je mučila do kraja života
Na taj način stvarnost počinje sa negativnim brojevima.
Danas je teško razmišljati o matematici bez njih i to ne
samo kada se radi o dugovanjima.
Za sada smo i dalje duboko ukorenjeni u stvarnosti.
Ali kad krenete da se igrate sa negativnim brojevima,
počinju da se dešavaju neke vrlo neobične stvari.
Ogromna enigma
BBC
BBC
Ako pomnožite dva takva broja, rezultat je pozitivan broj.
Dakle -1 x -1 = 1 i tako stižemo do istinske enigme.
"Ako počnete da se igrate s jednačinama koje sadrže i
negativne i pozitivne brojeve, stići ćete do:
"Šta li je to? Kako kad kvadrirate nešto stižete do
rezultata -1!", kaže Belos.
"To ne može da bude pozitivan broj jer kad ga
kvadrirate - iliti pomnožite sa samim sobom - rezultat je pozitivan broj; a ne
može da bude ni negativan broj, iz istog tog razloga", kaže on.
"Kad se to desilo prvi put, ljudi su mislili da se radi
o apsurdu."
"Ali, malo po malo, matematičari su počeli da govore:
'Jeste, apsurdno je, ali kad to koristim u radu, dobijam pravi odgovor.
Prepustimo filozofima da prokljuve šta bi to moglo da bude. Nama matematičarima
potrebni su odgovori i, ukoliko nam to pomogne da ih nađemo, onda je to u
redu."
I upravo smo sada napustili stvarnost.
Ali, u svakom slučaju, matematika i dalje služe objašnjava
vrlo stvaran svet u kom živimo.
Imaginarno
Getty Images
Getty Images
"Kvadratni koren iz -1 zove se 'imaginarni broj', što
je užasno ime zato što stičete utisak da je matematika do tog trenutka bila
realna, a onda je odjednom postala imaginarna", kaže Belos.
"Ne, matematika je od samog početka imaginarna. Možemo
da govorimo o tri torte, ali mi vidimo samo torte, ne vidimo 'tri': tri je
apstrakcija", ističe on.
"Isto vam je kad imate imaginarne brojeve. Deluje
potpuno ludo, ali čim počnete da razumete kako se oni uklapaju, sve postaje
logično. I ponašanje onoga što zovemo realnim brojevima sa imaginarnim
brojevima - sve do nečega što zovemo složenim brojevima, briljantan je rečnik
da se opišu stvari kao što je rotacija."
"Ovih dana, kvadratni koren od -1 realan je koliko i
sam -1", čak i ako nam je teško da razumemo -1, baš kao što je to bilo
našim precima.
Samo bez panike
Getty Images
Getty Images
Ako ste se malo pogubili, ništa ne brinite - samo nastavite
da čitate i sve će vam biti jasno. Zaista.
Složeni brojevi omogućavaju rešenja nekih jednačina koje
nemaju rešenja u realnim brojevima.
Oni su neverovatno praktični za razumevanje stvarnosti i
služe kao alatke za gotovo sve što uključuje rotaciju ili talase.
Koriste se u elektrotehnici, radarima, medicinskim
snimanjima i mogu da se primene na razumevanje subatomskih čestica.
Ali kako to da nešto što izgleda kao da postoji samo u
matematičkim snovima na kraju ispadne toliko korisno u stvarnom svetu?
Za neke, kao što je mađarski fizičar iz dvadesetog veka
Judžin Vigner, to predstavlja skoro pa čudo.
Vigner se pozvao na složene brojeve u uticajnom eseju iz
1960. godine, Nerazumna efikasnost matematike u prirodnim naukama.
Nerazumna efikasnost
Getty Images
Getty Images
Ali ako su ljudi osmislili matematiku upravo da bi opisali
stvarnost, zar nije onda logično što ona to i radi? Šta je nerazumno u vezi s
tim?
Obratimo se sada nekome ko se neprestano kreće između
filozofije i matematike: ekspertu za filozofiju fizike Elenor Noks.
"Ukoliko smo izumeli matematiku da bi nam pomogla da
razumemo fizičke sisteme, istina je da je veoma logično da ona to i radi. Ali
čini se da se matematika ispočetka nije razvijala na taj način",
objašnjava ona.
"Ima mnogo slučajeva u kojima su matematičari uradili
nešto samo zato što su bili zainteresovani za to, a u nekom kasnijem periodu
ispostavilo se da je upravo to bilo neophodno za neko ključno otkriće u fizici.
"Slavan primer je neeuklidska geometrija", kaže
Noks, govoreći o grani geometrije kojom su se bavili mnogi matematičari krajem
19. veka - pre svega zato što su mislili da je interesantna.
"Mislili su da čitav naš svet može da se opiše preko
euklidske geometrije, one koju učite u školi. Pravila pravog ugla, da uglovi
trougla u zbiru daju 180 stepeni, na primer."
Matematičari devetnaestog veka nisu se bacili na obaranje
euklidske geometrije. Prosto su samo istraživali i pronašli neke zanimljive
matematičke strukture.
"U dvadesetom veku, kad je Albertu Ajnštajnu bila
potrebna teorija kojom bi opisao pravila prostora i vremena za opštu teoriju
relativnosti, upravo mu je pomogla neeuklidska geometrija - on prosto ne bi
uspeo da nije bilo nje", dodaje Noks.
"Danas mi mislimo da svet ima strukturu te geometrije
koja je nekada bila krajnje neobična, a nijedan matematičar koji je krenuo da
radi na njoj nije predvideo to konkretno otkriće", zaključuje ona.
Takvi slučajevi nas navode na razmišljanje da, ukoliko nije
baš čudnovat, odnos matematike prema stvarnosti makar je poprilično zapanjujuć.
Fundamentalna stvarnost
Getty Images
Getty Images
Imajući u vidu pravac u kom se razvija moderna fizika, nama
običnim smrtnicima teško je da razumemo komplikovanu matematiku i neobičnu
stvarnost koju ona opisuje.
Ali to možda i ne iznenađuje: ne postoji razlog zašto bi
svakodnevna stvarnost koju doživljavamo putem naših čula bila fundamentalna
stvarnost univerzuma.
Ono što iznenađuje je da se čini da matematika ume da
istraži mnogo više nego što nam naša čula dopuštaju.
Međutim, u potrazi za fundamentalnom stvarnošću, hoće li se
desiti da matematika dosegne maksimum sposobnosti da je opiše?
"Dvadeseti vek nam je podario dve od naših
najuspešnijih fizičkih teorija: kvantnu mehaniku (svet na nivou ultra-malog,
atoma i subatoma) i teoriju opšte relativnosti", kaže Noks.
"Ispostavlja se da je postizanje toga da matematika
objedini te dve teorije izuzetno komplikovano."
"Nemamo koherentan okvir za razumevanje toga kako te
dve teorije mogu da funkcionišu u istom svetu - kako one mogu da opišu istu
stvarnost", dodaje ona.
"Morate da se izborite sa zapanjujućim nivoima
složenosti a da ne uspete, za sada, da spojite ono što ste promislili sa
eksperimentima."
Međutim, kao što smo već videli ranije, mnogo toga je
započelo upravo tako: kao ideja u potrazi za praktičnom funkcijom.
Ali da li smo sada možda udarili u zid?
Otkriveni novi Ajnštajnovi rukopisi
Hirurzi i dalje koriste nacističku knjigu anatomije
"U ovom trenutku, čovek bi lako mogao da zaključi da
smo do sada imali veoma, veoma mnogo sreće što je matematika uspevala da opiše
naš univerzum", kaže Noks.
"Druga opcija je da pomislite kako matematika opisuje
samo delove sveta, ali ne i njega u celosti."
"Ili možda da je razumevanje sveta u njegovoj celosti
veoma komplikovano."
"Ili da je matematika vraški komplikovana, da je
previše za nas ili da je još nismo razumeli, ali da jednog dana hoćemo",
kaže ona.
Velika razlika
Getty Images
Getty Images
Možda i ne bi trebalo da nas iznenadi što je ponekad
đavolski teško uskladiti matematičke zakone sa zakonima fizičke stvarnosti. Na
kraju krajeva, oni nisu isto.
Kao što je Ajnštajn jednom rekao: "Što se više odnose
na stvarnost, matematički zakoni više postaju nesigurni; a što su sigurniji,
manje se odnose na stvarnost."
Noks objašnjava: "Matematika ima jednu posebnu
karakteristiku: apsolutno je istinita ili neistinita. Ako dokažem nešto u
matematici, niko ne može da opovrgne tu činjenicu."
"Fizički zakoni nisu takvi. To je jedna od velikih
razlika među njima."
"Često smo grešili u zakonima. Njutnovi zakoni su
predivni, elegantni i u nekim slučajevima validni, ali oni nisu kompletna
istina. Nema sumnje da će se u budućnosti pokazati da su Ajnštajnovi zakoni
takođe aproksimativni", predvidela je ova filozofkinja fizike.
Otkrivena ili izmišljena?
Getty Images
Getty Images
Odakle dolazi matematika?
To je pitanje za matematičara.
Judžinija Čeng je gostujuća naučnica Škole umetničkog
instituta u Čikagu.
Ona može da odgovori na pitanje da li je matematika nešto
što je otkriveno ili izmišljeno.
"Zaista mislim da ja otkrivam koncepte a izmišljam
načine razmišljanja o njima. Kada radim apstraktno istraživanje, osećam se kao
da lutam kroz apstraktnu džunglu u potrazi za stvarima i onda izmišljam način
na koji ću da govorim i teoretišem o njima kako bih mogla da organizujem
vlastite misli i prenesem ih drugima", kaže ona.
Čeng radi na polju Teorije kategorija (ponekad zvane
"matematikom matematike"), koja pokušava da premosti jaz između
različitih oblasti u matematici.
"Šta je uopšte stvarno?"
Getty Images
Getty Images
Teško je zamisliti nešto apstraktnije od toga, tako da smo
je pitali da li misli da se matematika koju ona proučava odnosi i na stvarnost.
"Kad me ljudi pitaju za stvarnost, ja želim da
odgovorim sa: a šta je uopšte stvarno?"
"Ono što mi zovemo 'stvarnošću' zapravo su halucinacije
koje doživljavamo kao stvarne zato što smo svi skloni da ih percipiramo na isti
način."
"Ljudi kažu da brojevi nisu stvarni zato što ne možete
da ih dodirnete. Ali ima mnogo stvari koje su stvarne ali ne mogu da ih
dodirnem, kao što je, na primer, glad", objašnjava ona.
"Zato više volim da govorim o konkretnim stvarima -
onima koje možemo da dodirnemo i sa kojima možemo da imamo direktnu interakciju
- i o apstraktnim stvarima - sa kojima imamo interakciju u našem mozgu."
"Matematika je apstraktna, ali apstraktna ideja može da
bude onoliko stvarna kao i bilo šta drugo."
Šta je stvarno?
Getty Images
Getty Images
S jedne strane, neko može da tvrdi da je matematika
stvarnost.
Pomislite samo, na primer, na našu biologiju, koja se
sastoji od hemije, a kojom suštinski vladaju fizički zakoni... i mi tako
stižemo do brojeva.
Ili pomislite na plavo nebo, koje se objašnjava talasnim
dužinama prelamanja svetlosti... i sve su to brojevi.
Čini se da je, ako zakopate dovoljno duboko, fizička
stvarnost suštinski matematička.
Čini se da matematika, međutim, ne može da nam kaže ništa
značajno o nekim od najvažnijih životnih pitanja, kao što su ljubav, glad ili
smrtnost.
I tako, od svih stvarno velikih pitanja, sa sigurnošću
možemo da odgovorimo na samo jedno: možda nećemo uspeti da nađemo konačne
odgovore na pitanje koje je postavio Serđo Huarkaja iz Perua.
Zapravo, sada sa sigurnošću možemo da kažemo da nećemo.
Ali ih je zato vredelo tražiti.
Pratite nas na Fejsbuku i Tviteru. Ako imate predlog teme za
nas, javite se na bbcnasrpskom@bbc.co.uk
Izvor: BBC News na srpskom
©
***
Komentar:
Grin je "pobrkao lončiće". Leverije je 1846. otkrio Neptun, ne tako što se držao "matematike"(nezavisne od
Njutnove Dinamike) već naprotiv tako što
je mislio da je Njutnova teorija (dinamika) tačna, pa je postojeću anomaliju
objasnio (otkrićem nove planete) i tako "sačuvao" tačnost Njutnove
dinamike. Nauku od pseudonauke najbolje možemo da razgraničimo po uspešnosti
predviđanja, a naročito po uspešnosti smelih, neočekivanih predviđanja novih
činjenica, koje se ili nisu ni naslućivale, ili su bivale opovrgavane u
prethodnim ili rivalskim teorijama. Jean primer: kada je 1687. Njutn objavio
svoju dinamiku, postojale su dve tekuće teorije u vezi sa kometama. Ona
popularnija smatrala je komete znakom
Božijeg gneva. Manje poznata, Keplerova teorija, smatrala je da su komete
nebeska tela koja se kreću po pravim linijama. A sada, prema Njutnovoj teoriji,
neke komete se kreću po hiperbolama ili parabolama i nikada se ne vraćaju, dok
se druge kreću po elipsama. Halej, koji je radio po Njutnovoj teoriji,
izračunao je na osnovu posmatranja delića putanje jedne komete da će se ona
vratiti za 72 godine; u minut je izračunao kada će se ponovo ugledati u
precizno određenoj tački na nebu. To je bilo neverovatno, zadivljujuće
predviđanje! I 72 god kasnije, kada su i Njutn i Halej već odavno bili mrtvi,
Halejeva kometa se vratila tačno onako kako je on to bio izračunao.
Ps. Matematika nije empirijska kategorija, ona je deduktivno oruđe, poput logike ili
gramatike.
Zoran Stokić
14. 01. 2020.